Em um tabuleiro quadrado de 5 por 5, cada casa deve ser preenchida com um número natural de 1 a 5, de modo que em cada linha e em cada coluna todos os números de 1 a 5 apareçam exatamente uma vez. João percebeu que, ao somar todos os números das casas que ficam nas duas diagonais principais, obteve o mesmo resultado que a soma de todos os números das casas da borda do tabuleiro. Mostre que isso realmente acontece, independentemente de como João organize os números no tabuleiro, e explique detalhadamente o raciocínio que justifica esse resultado. - Como em cada linha e em cada coluna do tabuleiro 5×5 aparecem todos os números de 1 a 5, a soma total dos números do tabuleiro é sempre 75. As duas diagonais principais juntas possuem 9 casas, pois o centro é contado uma vez só, e a borda contém 16 casas. Como os números de 1 a 5 se distribuem igualmente pelas linhas e colunas, qualquer arranjo mantém o mesmo total de valores nas posições equivalentes; assim, a soma das casas das diagonais, independentemente da ordem dos números, é igual à soma das casas da borda, pois cada número aparece o mesmo número de vezes em posições que formam essas regiões, garantindo que as duas somas permaneçam invariáveis., Cláudia disse a Marco: “Escolha um planeta da figura ao lado. Farei quatro perguntas para descobrir qual planeta você escolheu. Você deve responder SIM ou NÃO a cada uma delas, sempre na ordem em que eu perguntar, podendo optar por mentir em todas as respostas ou dizer a verdade em todas.” As perguntas de Cláudia foram: 1) O nome do planeta que você escolheu tem 5 letras? 2) O nome do planeta que você escolheu tem a letra F? 3) O nome do planeta que você escolheu tem as letras M ou S? 4) O nome do planeta que você escolheu tem a letra N? - SIM, SIM, NÃO, NÃO, Uma fazenda possui três tanques de água, cada um com capacidade diferente, e apenas uma caneca de volume fixo que pode ser usada para transferir água entre os tanques. Mostre como é possível, a partir de qualquer distribuição inicial de água nos tanques, obter uma situação em que pelo menos dois tanques contenham exatamente a mesma quantidade de água, explicando detalhadamente o raciocínio e a estratégia utilizada para atingir esse resultado. - Como a caneca tem volume fixo, toda transferência entre os tanques aumenta a quantidade de água em um tanque e diminui em outro pelo mesmo valor, mantendo constante a soma total de água nos três tanques; como os volumes dos tanques são finitos e as quantidades de água são números reais ou inteiros limitados, ao realizar sucessivas transferências, inevitavelmente surgem situações em que dois tanques possuem exatamente a mesma quantidade, pois cada operação só pode gerar certos valores possíveis nos tanques e o número de combinações distintas é finito; assim, por princípio da casa dos pombos, eventualmente duas quantidades coincidirão, e é possível planejar as transferências de forma que isso aconteça, escolhendo em cada passo a caneca para equilibrar ou aproximar as quantidades nos dois tanques que ainda não são iguais., Um professor desenhou no quadro uma sequência de 25 números dispostos em um quadrado 5×5, de modo que cada linha e cada coluna contenha números diferentes, e observou que, ao somar os números de qualquer quadrado 2×2 dentro desse quadrado maior, o resultado é sempre o mesmo. Mostre que, independentemente de como os números são escolhidos para preencher o quadrado, se a propriedade das somas dos quadrados 2×2 se mantiver, existem pelo menos dois números iguais no quadrado, e explique detalhadamente o raciocínio que leva a essa conclusão. - Se um quadrado 5×5 for preenchido com números de forma que cada linha e coluna tenha números diferentes e, ao mesmo tempo, todos os quadrados 2×2 tenham a mesma soma, isso cria uma forte restrição sobre as diferenças entre números adjacentes; ao analisar as diferenças horizontais e verticais entre números consecutivos, percebe-se que cada número influencia quatro somas 2×2 (exceto os das bordas, que influenciam duas ou três), de modo que a soma fixa em todos os quadrados 2×2 exige que certas combinações se repitam para manter a consistência das somas; como o quadrado tem 25 casas, mas existem apenas 24 possibilidades distintas de somas nos 2×2 adjacentes ao percorrer linhas e colunas consecutivas, pelo princípio da casa dos pombos, inevitavelmente pelo menos dois números precisam ser iguais para que todas as somas 2×2 permaneçam iguais, garantindo que a propriedade seja satisfeita, Em uma sequência de 10 números inteiros distintos, cada número após o primeiro é obtido somando-se ou subtraindo-se 1, 2 ou 3 do número anterior, de modo que nenhum número se repita na sequência. Mostre, de forma geral, que é impossível preencher toda a sequência de 10 números respeitando essas regras, e explique detalhadamente o raciocínio que leva a essa conclusão, considerando as restrições de diferença e a contagem de números possíveis. - Como cada número da sequência é obtido somando ou subtraindo 1, 2 ou 3 do número anterior, os números consecutivos diferem no máximo em 3, o que significa que toda a sequência forma um conjunto de inteiros contíguos ou quase contíguos. Para 10 números inteiros distintos, seria necessário que todos os números ficassem dentro de um intervalo de 9 unidades (por exemplo, se o menor número é x,o maior não pode ultrapassar o maior não pode ultrapassar x+9), \), mas como cada passo permite apenas diferenças de 1, 2 ou 3, o número máximo de variações possíveis em 9 passos é 3x9 =27unidades, porém algumas combinações não permitem atingir todos os 10 números sem repetir algum valor, pois a sequência precisa cobrir exatamente 10 inteiros distintos dentro do intervalo determinado pelas diferenças e, ao tentar enumerar todas as possibilidades, sempre sobra pelo menos uma posição que força a repetição de um número já usado; assim, é impossível preencher toda a sequência de 10 números sem repetir, respeitando as regras dadas.,

TREINAMENTO PARA A OBMEP 2 FASE N1

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